El teorema de Green nos permite transformar esta integral en una de lnea, usando como trayectoria la hipocicloide del enunciado y definiendo una funcin apropiada para la integracin. Esto es, realizar 3 integrales parametrizadas para la resolucin. Si ests detrs de un filtro de pginas web, por favor asegrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estn desbloqueados. En los siguientes ejercicios de aplicacin, el objetivo es evaluar A=S(F).ndS,A=S(F).ndS, donde F=xz,xz,xyF=xz,xz,xy y S es la mitad superior del elipsoide x2 +y2 +8z2 =1,dondez0.x2 +y2 +8z2 =1,dondez0. Por la Ecuacin 6.19. donde las derivadas parciales se evalan todas en (x,y,g(x,y)),(x,y,g(x,y)), haciendo que el integrando dependa solo de x y y. Supongamos que x(t),y(t),atbx(t),y(t),atb es una parametrizacin de C.C. De donde se toman las funciones correspondiente a f y g, f ( x , y ) = x3 g ( x , y ) = yx, df/dy = 0 dg/dx = y. Es importante definir las funciones que conforman los lmites de la regin C, para poder armar el producto de diferenciales que cubrir por completo la regin. Si eso no fuera cierto, la integral doble podra no haber sido ms sencilla. Calcule el rizo del campo elctrico E si el campo magntico correspondiente es B(t)=tx,ty,2tz,0t<.B(t)=tx,ty,2tz,0t<. Utilice el teorema de Stokes para evaluar C[2 xy2 zdx+2 x2 yzdy+(x2 y2 2 z)dz],C[2 xy2 zdx+2 x2 yzdy+(x2 y2 2 z)dz], donde C es la curva dada por x=cost,y=sent,z=sent,0t2 ,x=cost,y=sent,z=sent,0t2 , recorrida en la direccin de aumento de t. [T] Utilice un sistema de lgebra computacional (CAS) y el teorema de Stokes para aproximar la integral de lnea C(ydx+zdy+xdz),C(ydx+zdy+xdz), donde C es la interseccin del plano x+y=2 x+y=2 y superficie x2 +y2 +z2 =2 (x+y),x2 +y2 +z2 =2 (x+y), recorridos en sentido contrario a las agujas del reloj visto desde el origen. Vemos una explicacin intuitiva de la verdad del teorema y luego vemos su demostracin en el caso especial de que la superficie S es una porcin de un grfico de una funcin, y S, el borde de S y F son todos bastante mansos. $$$=\lbrace \mbox{la integral del coseno entre } 0 \mbox{ y } 2\pi \mbox{ vale cero}\rbrace=$$$ El Equipo Editorial de lifeder.com est formado por especialistas de las distintas disciplinas que se tratan y por revisores encargados de asegurar la exactitud y veracidad de la informacin publicada. Por qu la integral de lnea en el ejemplo anterior se hizo ms sencilla que la integral doble cuando le aplicamos el teorema de Green? Figura 1. Nuestra misin es mejorar el acceso a la educacin y el aprendizaje para todos. 3 Supongamos que S es un elipsoide x2 4+y2 9+z2 =1x2 4+y2 9+z2 =1 orientado en sentido contrario a las agujas del reloj y supongamos que F es un campo vectorial con funciones componentes que tienen derivadas parciales continuas.srizoF.nsrizoF.n. Despus de hacer esto un par de veces, es suficientemente natural hacerlo en tu cabeza. En los siguientes ejercicios, supongamos que S es el disco delimitado por la curva. Antecedentes El teorema de Green El flujo en tres dimensiones El rotacional en tres dimensiones Observe que el rizo del campo elctrico no cambia con el tiempo, aunque el campo magntico s lo hace. El teorema de Stokes tiene una extensin natural al espacio R3, conocido con el nombre de Teorema de Stokes. Cengage Learning, 22 mar. Administrador blog Aplican Compartida 2019 tambin recopila imgenes relacionadas con ejercicios de derivadas parciales aplicadas a la economia se detalla a continuacin. 3 Supongamos que S es la parte del paraboloide z=9x2 y2 z=9x2 y2 con la z0.z0. Entonces el vector normal unitario es k y la integral de superficie SrizoF.dSSrizoF.dS es en realidad la integral doble SrizoF.kdA.SrizoF.kdA. Anexo Tema 3-Clculo Lmites. Teorema de Stokes Teorema 2.1 (Stokes). F(x,y,z)=xyizjF(x,y,z)=xyizj y S es la superficie del cubo 0x1,0y1,0z1,0x1,0y1,0z1, excepto en la cara donde z=0,z=0, y utilizando el vector normal unitario que est hacia afuera. En primer lugar, veremos una demostracin informal del teorema. Solucion Como la curva es regular a trozos y la funcion F (x, y) = (y2, (x + y)2) es diferenciable, puede aplicarse el teorema de Green. En general, supongamos que S1S1 y S2 S2 son superficies lisas con el mismo borde C y la misma orientacin. Por el contrario, calculemos la integral de lnea utilizando el teorema de Stokes. Veamos en primer lugar la demostracion del teorema de Stokes en el caso particular de una supercie S denida por la funcion explcita z = f(x,y), (x,y) D, con f C(2) y D una region plana simple cuya frontera C 1 es la proyeccion de la frontera de S sobre el . 1999-2023, Rice University. Se cumple la formula de Green? eoremaT de Stokes El teorema de Stokes relaciona la integral de lnea de un campo vectorial alrededor de una curva cerrada simple 32R , con la integral sobre una super cie de la cual es la frontera. 2 Pero, personalmente, nunca puedo recordarla en esta forma en trminos de. Por lo que: Supongamos que S es una superficie lisa, orientada y a trozos con un borde que es una curva simple cerrada C con orientacin positiva (Figura 6.79). ejercicios resueltos por medio del teorema de Green, definicin y como aplicar el teorema. La expresin del Teorema de Green es la siguiente: En el primer trmino se observa la integral de lnea definida por la trayectoria C, del producto escalar entre la funcin vectorial F y el del vector r. George Green formaliz su carrera estudiantil a los 40 aos, siendo hasta el momento un matemtico completamente autodidacta. Tomamos la parametrizacin estndar de S:x=x,y=y,z=g(x,y).S:x=x,y=y,z=g(x,y). C:r(t)=coscost,sent,sencost,C:r(t)=coscost,sent,sencost, para 0t2 ,0t2 , donde 02 02 es un ngulo fijo. 3 Sin embargo, en nuestro contexto, la ecuacin D(t)Bt.dS=D(t)rizoE.dSD(t)Bt.dS=D(t)rizoE.dS es cierto para cualquier regin, por pequea que sea (esto contrasta con las integrales de una sola variable que acabamos de discutir). $$$\gamma(t)=(2\cdot\cos(t),2\cdot\sin(t),2), \mbox{ para } t\in[0,2\pi]$$$, Calculamos Teorema de Green 7 1. C : Es la trayectoria definida sobre la cual se proyectar la funcin vectorial siempre y cuando est definida para ese plano. Ms precisamente, el teorema de Stokes establece que la integral de la componente normal del rotacional de un campo vectorial F sobre una supercie S es igual a la integral de la componente tangencial de F alrededor de la frontera C de S (Figura1). Para visualizar la curvatura en un punto, imagine que coloca una pequea rueda de paletas en ese punto del campo vectorial. Por lo tanto, los mtodos que hemos aprendido en las secciones anteriores no son tiles para este problema. $$$=-2\cdot\Big[\dfrac{r^4}{8}\Big]_0^2\cdot[t]_0^{2\pi}-3\Big[\dfrac{r^2}{2}\Big]_0^2\cdot[t]_0^{2\pi}=-20\pi$$$. y por lo tanto se verifica el teorema de Stokes. Calcule el rizo del campo elctrico E si el campo magntico correspondiente es un campo constante B(t)=1,4,2 .B(t)=1,4,2 . En los siguientes problemas debe usar el teorema de Green para hallar la solucin (justifique cada paso de la solucin). = Estos son el teorema de Kelvin-Stokes y el teorema de divergencia o de Gauss Ostrogradski. Por la Ecuacin 6.19. [T] Utilice un CAS y el teorema de Stokes para evaluar S(rizoF.N)dS,S(rizoF.N)dS, donde F(x,y,z)=x2 yi+xy2 j+z3kF(x,y,z)=x2 yi+xy2 j+z3k y C es la curva de interseccin del plano 3x+2 y+z=63x+2 y+z=6 y el cilindro x2 +y2 =4,x2 +y2 =4, orientado en el sentido de las agujas del reloj cuando se ve desde arriba. La cantidad (rizoF)(P0).N(P0)(rizoF)(P0).N(P0) es constante y, por lo tanto, y la aproximacin se acerca arbitrariamente a medida que el radio se reduce a cero. El teorema de Green puede convertir integrales de lnea difciles en integrales dobles ms directas. El teorema de Green se presenta comnmente como: Esto tambin es parecido a como suelen verse los problemas de prctica y las preguntas de examen. Calcule la integral de superficie SrizoF.dS,SrizoF.dS, donde S es la superficie, orientada hacia el exterior, en la Figura 6.84 y F=z,2 xy,x+y.F=z,2 xy,x+y. 1. Solucin: 2. Este clculo, ejecutado como integral de rea, es muy complicado. En fsica y matemticas, el teorema de Green da la relacin entre una integral de lnea alrededor de una curva cerrada simple C {\\displaystyle C} y una integral doble sobre la regin plana D {\\displaystyle D} limitada por C {\\displaystyle C} . Estos deben ser lo suficientemente pequeas como para que se puedan aproximar a un cuadrado. Formas vectoriales del Teorema de Green 15 Cap tulo 2. Utilice el teorema de Stokes para el campo vectorial F(x,y,z)=32 y2 i2 xyj+yzk,F(x,y,z)=32 y2 i2 xyj+yzk, donde S es la parte de la superficie del plano x+y+z=1x+y+z=1 contenida en el tringulo C con vrtices (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1), recorrida en sentido contrario a las agujas del reloj vista desde arriba. Teorema 11.1 (de Green) Sea Cuna curva cerrada simple regular a tro-zos, positivamente orientada, en el plano R2, y sea Dla union de la region interior a Ccon la propia curva C. Sea F= (P,Q) : D R2 un campo vectorial de clase C1. Esto justifica la interpretacin del rizo que hemos aprendido: el rizo es una medida de la rotacin en el campo vectorial alrededor del eje que apunta en la direccin del vector normal N, y el teorema de Stokes justifica esta interpretacin. Exmen preguntas y respuestas; Ejercicios Resueltos; Tema 1 - Conceptos de Unidad Didctica; Resumen Ser y tiempo; . Copyright 2023 Ladybird Srl - Via Leonardo da Vinci 16, 10126, Torino, Italy - VAT 10816460017 - All rights reserved, Descarga documentos, accede a los Video Cursos y estudia con los Quiz, Ejercicios Resueltos - Teorema De Stokes - Ejercicios - Anlisis, Ejercicios resueltos de Teorema de Pitgoras, Teoremas- DERIVADAS con ejercicios resueltos explicados paso a paso, Teorema del seno y coseno: ejercicios resueltos, Ejercicios resueltos por el teorema de Stokes, Tema 1T eorema de tales, ejercicios y explicaciones sobre Teorema de Tales desarrollo. Compruebe que el teorema de Stokes es cierto para el campo vectorial F(x,y,z)=y,2 z,x2 F(x,y,z)=y,2 z,x2 y la superficie S, donde S es el paraboloide z=4x2 y2 z=4x2 y2 . Teorema de Green, demostracin, aplicaciones y ejercicios. Por lo tanto, la integral de flujo de G no depende de la superficie, solo del borde de la misma. Anlogamente, supongamos que S y S son superficies con el mismo borde y la misma orientacin, y supongamos que G es un campo vectorial tridimensional que puede escribirse como el rizo de otro campo vectorial F (de modo que F es como un "campo potencial" de G). Recordemos que si F es un campo vectorial bidimensional conservativo definido en un dominio simplemente conectado, ff es una funcin potencial para F, y C es una curva en el dominio de F, entonces CF.drCF.dr solo depende de los puntos finales de C. Por lo tanto, si C es cualquier otra curva con el mismo punto inicial y final que C (es decir, C tiene la misma orientacin que C), entonces CF.dr=CF.dr.CF.dr=CF.dr. Evale una integral de superficie sobre una superficie ms conveniente para hallar el valor de A. Evale A mediante una integral de lnea. Utilice el teorema de Stokes para evaluar C(12 y2 dx+zdy+xdz),C(12 y2 dx+zdy+xdz), donde C es la curva de interseccin del plano x+z=1x+z=1 y el elipsoide x2 +2 y2 +z2 =1,x2 +2 y2 +z2 =1, orientado en el sentido de las agujas del reloj desde el origen. Para resolver la integral, hacemos el cambio a coordenadas polares, x = u cos v, y = u sen v, con lo que: I = /2 /2 dv a cos v 0 u(u cos v u sen v 2) du = /2 /2 [ a 3 3 cos4 v a 3 3 cos3 v sen v a2 cos2 v ] dv = a 2 8 (a + 4). Teorema de Stokes. El teorema de Green solo puede tratar superficies en un plano, pero el teorema de Stokes puede tratar superficies en un plano o en el espacio. Utilice el teorema de Stokes para calcular SrizoF.dS,SrizoF.dS, donde F(x,y,z)=i+xy2 j+xy2 kF(x,y,z)=i+xy2 j+xy2 k y S es una parte del plano y+z=2 y+z=2 dentro del cilindro x2 +y2 =1x2 +y2 =1 y orientado en sentido contrario a las agujas del reloj. Anlogamente, con nuestra ecuacin D(t)Bt.dS=D(t)rizoE.dS,D(t)Bt.dS=D(t)rizoE.dS, no podemos concluir simplemente que rizoE=BtrizoE=Bt solo porque sus integrales son iguales. $$$\int_S rot(F)dS=\int_S rot(F(\sigma(x,y)))dS=$$$ W Michael Lai, David H. Rubin, Erhard Krempl, David Rubin Butterworth-Heinemann, 23 jul. Descarga Ejercicios resueltos por el teorema de Green y ms Ejercicios en PDF de Clculo para Ingenierios solo en Docsity! El teorema de Green es un caso especial, y surge de otros 2 teoremas muy importantes en la rama del clculo. Utilice el teorema de Stokes para evaluar F.dS,F.dS, donde F(x,y,z)=yi+zj+xkF(x,y,z)=yi+zj+xk y C es un tringulo con vrtices (0, 0, 0), (2, 0, 0) y (0,2,2 )(0,2,2 ) orientado en sentido contrario a las agujas del reloj cuando se ve desde arriba. Por lo tanto, una parametrizacin de S es x,y,1xy,0x2 ,0y1.x,y,1xy,0x2 ,0y1. Supongamos que S es la superficie que queda para y0,y0, incluyendo la superficie plana en el plano xz. El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no estn sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University. . Estrategias instruccionales: Conferencias en donde se presentan: los conceptos y mtodos fundamentales del clculo, la estructura matemtica del clculo, ejemplos, ejercicios y la solucin de problemas. x Har unos comentarios despus de cada ejemplo para ayudarte a extraer la intuicin detrs de cada uno. Calculo de . Primero desarrollamos la integral de lnea por sobre la trayectoria C, para lo cual se ha sectorizado la trayectoria en 2 tramos que van primeramente desde a hasta b y luego de b hasta a. Utilizar el teorema de Stokes para evaluar la integral de lnea C(zdx+xdy+ydz),C(zdx+xdy+ydz), donde C es un tringulo con los vrtices (3, 0, 0), (0, 0, 2) y (0, 6, 0) recorridos en el orden dado. Soluciones de los ejercicios del examen de Fundamentos Matemticos I . Calcular el rea de una regin al usar una integral de lnea alrededor de su frontera? Ambas integrales son iguales a 12 ,12 , por lo que 01xdx=01f(x)dx.01xdx=01f(x)dx. No existe una manera nica de definir los lmites de integracin al aplicar el teorema de Green. El teorema de Green se llama as por el cientfico britnico George Green, y resulta ser un caso especial del ms general teorema de Stokes. y En este caso se opera con un diferencial de este vector. $$\sigma(x,y)=\Big(x,y,\dfrac{x^2+y^2}{2}\Big)$$, como $$z\leq2$$, tenemos que $$x^2+y^2 \leq 4$$, $$(x,y)$$ toman valores dentro de un crculo de radio $$2$$. Esto tiene mltiples funcionalidades en los estudios de resistencia de materiales bajo uso. F(x,y,z)=zi+xj+yk;F(x,y,z)=zi+xj+yk; S es el hemisferio z=(a2 x2 y2 )1/2 .z=(a2 x2 y2 )1/2 . Utilice el teorema de Stokes para calcular la integral de lnea CF.dr,CF.dr, donde F=z,x,yF=z,x,y y C est orientado en el sentido de las agujas del reloj y es el borde de un tringulo con vrtices (0,0,1),(3,0,2),(0,0,1),(3,0,2), y (0,1,2 ). Ahora basta suponer que la funcin vectorial F est definida nicamente para g(x,y)j. Donde al operar de manera homologa al caso anterior, se obtiene: Para finalizar, se toman las 2 demostraciones y se unen en el caso donde la funcin vectorial toma valores para ambos versores. El teorema de Stokes dice que podemos calcular el flujo del rizo F a travs de la superficie S conociendo solo la informacin sobre los valores de F a lo largo del borde de S. A la inversa, podemos calcular la integral de lnea del campo vectorial F a lo largo del borde de la superficie S traduciendo a una integral doble del rizo de F sobre S. Supongamos que S es una superficie lisa orientada con el vector normal unitario N. Adems, supongamos que el borde de S es una curva simple cerrada C. La orientacin de S induce la orientacin positiva de C si, al caminar en la direccin positiva alrededor de C con la cabeza apuntando en la direccin de N, la superficie est siempre a su izquierda. , Para ver este efecto de forma ms concreta, imagine que coloca una pequea rueda de paletas en el punto P0P0 (Figura 6.86). Supongamos que F=2 z+y,2 x+z,2 y+x.F=2 z+y,2 x+z,2 y+x. En general, el teorema de Green facilita la comprensin y definicin de las zonas donde las funciones vectoriales estn definidas con respecto a una regin segn una trayectoria. Enunciado del teorema de la divergencia Ciertas definiciones y proposiciones son necesarias para desarrollar dichas demostraciones. Sin embargo, como nuestra curva est orientada en sentido de las manecillas del reloj, tomamos el negativo de esto: Al usar las respuestas de las dos preguntas anteriores y sustituir este valor en la integral doble que estableciste, encuentra la respuesta al problema original de la integral de lnea: Como en el ejemplo 1, parte de la razn por la cual esta integral de lnea se hizo ms sencilla es que los trminos se simplificaron una vez que vimos las derivadas parciales apropiadas. F(x,y)=y -x j . Este teorema es perfectamente aplicable para el espacio e integrales de superficie. As an Amazon Associate we earn from qualifying purchases. $$$-4\int_0^{2\pi}(3\sin^2(t)+2\cos^2(t))dt=\left\{\begin{array}{c} 2\sin^2(t)+2\cos^2(t)=2 \\ \sin^2(t)=\dfrac{1-\cos(2t)}{2} \end{array}\right\}=$$$ La forma diferencial de la ley de Faraday establece que, Utilizando el teorema de Stokes, podemos demostrar que la forma diferencial de la ley de Faraday es una consecuencia de la forma integral. Si los valores de DrDr es lo suficientemente pequeo, entonces (rizoF)(P)(rizoF)(P0)(rizoF)(P)(rizoF)(P0) para todos los puntos P en DrDr porque el rizo es continuo. \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, P, d, x, plus, Q, d, y, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, d, A, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, y, end fraction, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start text, r, o, t, space, 2, d, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, d, A, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start color #bc2612, C, end color #bc2612, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start color #bc2612, R, end color #bc2612, P, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, Q, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, left parenthesis, 3, comma, minus, 2, right parenthesis, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, 3, y, d, x, plus, 4, x, d, y, P, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, Q, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, equals, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, d, A, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, minus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, squared, minus, 1, right parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 4, minus, x, squared, start color #bc2612, D, end color #bc2612, \oint, start subscript, start color #bc2612, D, end color #bc2612, end subscript, x, squared, y, d, x, minus, y, squared, d, y, y, equals, left parenthesis, x, squared, minus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, squared, minus, 1, right parenthesis, integral, start subscript, x, start subscript, 1, end subscript, end subscript, start superscript, x, start subscript, 2, end subscript, end superscript, integral, start subscript, y, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, x, right parenthesis, end subscript, start superscript, y, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, x, right parenthesis, end superscript, dots, d, y, d, x, x, start subscript, 1, end subscript, equals, x, start subscript, 2, end subscript, equals, y, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, y, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, minus, left parenthesis, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, equals, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, minus, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, \oint, start subscript, start color #bc2612, D, end color #bc2612, end subscript, x, squared, y, d, x, minus, y, squared, d, y, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, d, A, left parenthesis, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, equals, 1, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, d, A, right arrow, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, d, A, equals, start text, A, with, \', on top, r, e, a, space, d, e, space, end text, start color #bc2612, R, end color #bc2612, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, equals, 1, 0, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2, pi, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, left parenthesis, 2, pi, comma, 0, right parenthesis, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start underbrace, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, y, d, x, end underbrace, start subscript, P, d, x, end subscript, plus, start underbrace, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, d, y, end underbrace, start subscript, Q, d, y, end subscript, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, x, d, y, minus, y, d, x, right parenthesis, integral, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, x, start underbrace, d, y, end underbrace, start subscript, 0, end subscript, minus, start underbrace, y, end underbrace, start subscript, 0, end subscript, d, x, right parenthesis, x, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, cosine, left parenthesis, t, right parenthesis, y, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, sine, left parenthesis, t, right parenthesis, integral, start subscript, start text, E, s, p, i, r, a, l, end text, end subscript, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, x, d, y, minus, y, d, x, right parenthesis, equals.

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